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量子力学

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量子计算…with a twist

01 Sep 2010

问:什么时候结没有结?答:当它是一个量子计算机时。 Steve Simon解释了结理论和某些量子系统之间的显着联系可能对于量子信息处理可能是有用的

什么时候结不结?

在1867年,Kelvin领主(随后被称为威廉汤姆森)目睹了一台可以产生烟圈的机器的演示。这台机器由他的朋友和物理学家彼得泰特建造,这是一个有趣的新奇。当时,烟圈是物理学中的热门话题,感谢Hermann Von Helmholtz,后来,Kelvin本人的工作。 Helmholtz表明,在一个完美的损失的液体中,“lines of vorticity”围绕哪些流体流量是保守的数量。因此,在这种流体中,涡旋环形配置,例如烟圈,应持续所有时间。由于科学家认为整个宇宙充满了如此完美的折射液,称为“luminiferous aether”,Kelvin建议亚瑟中涡旋线的不同结配置可能对应于不同的原子(图1)。

这个理论“vortex atoms”有吸引力,因为它给出了原子是离散和不可变的原因。几年来,理论非常受欢迎,吸引了麦克斯韦等其他伟大科学家的兴趣。但是,经过进一步的研究和失败的尝试从中提取预测,想法迷失了普及。当迈克尔森和莫利(和后来的爱因斯坦)表明亚醚不存在时,涡旋原子的理论最终完全丧生。

尽管如此,一些理论’S的支持者在很长一段时间内留下了热情,也许它最大的支持者是自己的。虽然最初持怀疑态度持怀疑态度,但泰特最终开始相信,通过建造一张各种可能的结,他将获得一些洞察元素的周期表。在一个突破性的一系列论文中,他构建了一份全部结的目录,最多七个过境点。 (请注意,数学家之间的区别“knots”由单链和“links”由多个股线制成。我们将邋and并称之为结。)虽然漩涡原子理论没有,但这些研究使Tait Tait Tait Tait Tait Tait的结的结的父亲–自从数学中是一项丰富的研究。

最近,出现了结理论与某些量子系统之间的显着联系。这一连接现在正在理论上和实验上探索,部分原因是普通信息处理的承担。事实证明,虽然我们不能从亚太斜丝中出来的原子,但是可以通过拖动彼此的颗粒来形成量子计算机以形成特定类型的空间–时结。而这样一个“拓扑量子计算机”将难以构造,它将提供对量子信息处理的更多传统方案的一些优点。

一个总是狭窄的问题

To understand how a 拓扑量子计算机 might work, we must first explore a mathematical concept called a “knot invariant”。在他试图建立一个“周期性表”,tait构成了什么可能 数学结理论中的基本问题:你如何知道两节是拓扑上等同的还是拓扑不同的?换句话说,可以在不切割任何股线的情况下彼此平滑地变形两节?虽然这仍被认为是一个艰难的数学问题,但结不变是一个有助于解决它的强大工具。

结不变被定义为连接结的图片的数学算法– the input –通过一组规则到某些输出。选择规则,使得如果输入的两个结是拓扑等效的,则应用规则将始终提供相同的输出。因此,如果两个输出不同,则立即知道两个输入结没有拓扑等同物。

最简单的结不变性之一被称为Kauffman不变,它由两个规则定义(图2a)。每当我们看到两个股线在我们的拍摄照片中交叉时,我们都可以使用第一个规则来替换我们的照片“sum”两张图片,每张交叉的少于原始图片,以及参数 A 这是一种簿记工具,以跟踪我们已更换的右手交叉数量。通过反复使用这一规则,我们最终可以将我们的图片减少到一系列内部没有交叉口的图表–他们只是打开循环。然后我们使用第二个规则将每个开放循环替换为值 d = –A2 –A–2,产生多项式 AA–1. An example of evaluating the Kauffman invariant is shown in figure 2b, where we find (after using some algebra) that the Kauffman invariant of the 双图 - 八 picture we started with is in fact the same as that of the open loop –考虑到它们是拓扑相当的,这是我们应该期待的。

图2c显示了一个稍微复杂的例子,它揭示了一块扭曲串的Kauffman不变与未运行的字符串的不变相同–事实上,他们的不变量差异是一个因素–A3。这似乎与上面的描述相矛盾,Kauffman不变的任何两个可彼此平滑地变形的两个结的相同(因为它看起来我们可以将扭曲的绳子平稳地变形为直的)。然而,我们应该想到股线不如无限薄,而是有一定宽度(图2D)。在这种情况下,如果我们试图通过直接拉动绳子,我们试图平稳地拆下扭曲,那么我们实际上仍然最终在我们的钢绞线中扭曲。

不同的路径,相同的结果

要了解结不变量和物理学之间的联系,我们需要考虑Quantum Mechanics以Richard Feynman在他的路径积分方法中计算特定量子事件的概率。使用Feynman.’S方法,可以通过概括所有可能过程的概率幅度来计算从初始到最终配置的概率来计算(或“paths”)可能发生在最初和最终状态之间。

对于一些非常特殊的量子系统,特定过程的幅度仅取决于该过程的拓扑,而不是根据过程的任何精确细节,例如快速粒子移动或相距多远。粗略地说,这意味着系统中的粒子可以以许多不同的方式彼此移动–它们甚至可以作为粒子的真空创造–hole or particle–antiparticle pairs –但如果他们在太空中追踪的路径–时间是拓扑上等同的,那么这些路径将同样可能。遵守该规则的系统称为拓扑量子系统,描述其行为的理论称为拓扑量子域理论(TQFT)。

这将我们带到了一个相当显着的结论:在拓扑量子系统中,特定过程的幅度是空间的结不变 –在该过程期间颗粒追踪的时间路径。如果这一连接似乎不明显,请不要担心。这是第一个制造它的数学物理学家编辑,赢得了数学的最高荣誉– the Fields Medal –为了他的成就。他洞察力的本质是结不变量被定义为仅取决于结输入的拓扑的输出,而TQFT中的幅度也仅取决于由粒子形成的结的拓扑结构’ paths through space–时间。因此,幅度必须是结不变的。

在我们继续之前,值得强调,当我们谈论粒子路径时,我们实际上正在考虑世界排队–空间和时间的路径。例如,如果我们有2D(平面)物理系统,我们必须将时间视为第三维度。因此,静止的颗粒将追踪直空间–时间在两个空间尺寸和一个时间尺寸中的时间线,而两个颗粒在两种尺寸中彼此横向横向,将形成双螺旋或两股辫子(2 + 1)尺寸。我们将对我们感兴趣的所有TQFTS确实是2D(公寓)系统,我们可以将第三个维度视为时间。

要查看幅度和结不变之间的对应方式如何在实践中工作的示例,让我们返回稍微换算图2D。在TQFT的语言中,我们看到围绕自身旋转的粒子,在空间中创造一个扭曲的路径–时间,积累一个因素–A3 与不旋转本身旋转的粒子相比。通过评估Kauffman不变性获得的额外因素实际上是我们应该期望的东西,如果我们考虑在量子机械系统中的颗粒中的幅度幅度。我们知道,当粒子在量子力学中旋转时,它通常会由于其旋转而拾取相位–并且确实在所有物理上可实现的TQFTS,–A3 只是这样的阶段。

多填充系统

也许当有多个粒子和孔创造时,可能发生这些TQFT的最重要的财产。在由多个颗粒组成的拓扑量子系统中,通常存在具有描述系统状态的相同能量的许多不同(正交)波力。这是非常不寻常的,因为对于大多数量子系统,一旦指定了所有本地可测量的量子数(位置,旋转等),那么就唯一地定义了波段。但对于tqfts来说,还有额外的隐藏“topological” degrees of freedom –因此,可以有几个具有完全相同的能量的波力事件,并且与所有本地测量完全相同,但仍然代表不同的量子状态。

要了解这一切,请考虑包含两个相同粒子和两个相同孔的系统(图3a)。要实现的关键的事情是,该系统可以用(至少)两个拓扑上不同的空间来准备–时间历史。我们将称这两个(KET)国家称为1〉 and |2〉。他们的相应(胸罩)状态〈1| and 〈2 |与|与| 1相同〉 and |2〉但随着时间的推移。

我们需要解决的下一个问题是吗?1〉 and |2〉事实上是不同的量子状态。为了证明它们是,我们需要计算它们的重叠幅度,例如〈1|1〉 and 〈1|2〉,并检查这些是不同的。换句话说,我们需要展示1〉 and |2〉是线性独立的(图3B)。这样做的程序非常明显:我们只是带来两个相应的空间–时间图片形成封闭的结,然后评估Kauffman不变的结果。汇集〈1| with |1〉, or 〈2| with |2〉,生成两个循环,导致Kauffman不变 d2 (in other words, 〈1|1〉 =  〈2|2〉 = d2)。但是,一起带来〈1| with |2〉只生成一个循环,给予〈1|2〉 = d。这立即告诉我们| 1〉 and |2〉只要是不同的量子状态d| ≠ 1.也可以表明任何其他,更复杂,准备两个颗粒和两个孔的配置的方式必须是| 1的线性组合〉 and |2〉。因此,我们得出结论,我们的双粒子,两个孔系统正是两个态量子系统,或单个量子位(QUBit)。

我们可以使用相同的技术来计算,例如,〈1|braid|1〉通过评估编织结的Kauffman不变(图3c)。在这种情况下,我们得出结论,在太空中彼此周围的编织颗粒的过程–时间通常在我们的两个状态系统上执行(酉)变换。换句话说,我们通过彼此编织颗粒来操纵我们的量子位的量子状态。

理论上的量子计算机…

能够使用粒径来执行数学操作,提高使用拓扑量子系统作为量子计算机的有趣可能性。这个想法,被称为“拓扑量子计算”,通常被记入迈克尔自由人(另一个领域的媒体)和Alexei Kitaev。一般方案的一个实施方式在图4中示出。在该三个QUBBit方案中,从真空中拉出颗粒四重奏,每种颗粒表示单个信息的Qubit。在量子计算的概率中,这被称为“initialization”阶段。通过彼此周围拖动颗粒以形成特定结的量子计算,具有与不同量子计算对应的不同类型的编织物。最后,一个人在最后进行了测量,试图消灭对颗粒的对。那些没有湮灭的颗粒(因为它们由Kauffman Invariant计算的计算结果计算了它们的零点为零)“readout”计算。当然,可以通过计算图2A中所布局的规则来计算Kauffman不变的Kauffman不变的结果来预测该实验的结果。然而,很明显,对于所有简单的结来应用这些递归规则对于所有但最简单的结可能是不可能复杂的,而物理拓扑量子系统可以自动对此计算进行非常复杂的结,而没有麻烦。

While this 拓扑量子计算 may sound like an extremely complicated way to achieve the already difficult goal of building a quantum computer, if one starts with the right topological quantum system, then it turns out to be just as capable of performing standard quantum-computational tasks (such as Shor’用于查找大型整数的主要因素的S算法,作为建立量子计算机的任何其他方法,至少原则上。实际上,它实际上有一个非常重要的优势–同样,原则上–超过所提出的其他计划。

拓扑量子计算机的优点来自建立量子计算机的主要困难之一,找到一种保护它免受小错误的方法,特别是保护它免受噪声和耦合到环境的其他因素。在拓扑计算机中,如果噪声在计算的中间击中器件,则可以在钻头周围摇动粒子(图4)。然而,只要编织的整体拓扑未改变,所以正在执行的计算也不变,并且不会发生错误。以这种方式,拓扑量子计算机自然保护差错–一个相当大的优势。

…and in practice?

然而,如果没有真实的,物理系统,则会毫无疑问地遵守TQFTS规则。但是,虽然通过这种方式所描述的结不变的量子系统可能听起来相当异国情调,但实际上据信了一些这样的系统。一类系统是2D P波超流,包括SR24 超导薄膜,氦-3A超流膜和所谓的ν = 5/2 and ν = 7/2量子霍尔系统。密切相关的是各种(尚未实现的)建议,用于在拓扑绝缘体表面和具有强大旋转的其他系统上产生超导结构的提案–轨道耦合。实验观察到ν = 12/5 Quantum Hall系统是另一个示例认为是特别有趣的拓扑量子系统。最后,已经有许多建议实现超冷原子晶格或超冷旋转玻色子中的这种系统。

虽然TQFTS可能最终适用于许多物理系统中的任何一个,但实验拓扑量子系统的最强候选者是上述 ν = 5/2和7/2量子大厅国家。当电子局限于两个尺寸时,Quantum Hall状态可以形成,暴露于大磁场并冷却至非常低的温度。在这种条件下,电子密度与施加磁场的比率,ν,采用某些简单的值,例如1,2,1 / 3,2 / 5等。当比率是一小部分时,效果被称为 分数 量子霍尔效应。 Quantum Hall状态(分数或其他)中的电子可以流动,没有耗散–一种类似于超流和超导体流动的情况。至关重要的是,当这些量子霍尔州的形式时,各个电子形成均匀密度的量子流体,只需要追踪低能量的需要“quasiparticles” –在另外均匀的液体中量化的电荷密度块。由于所有电荷都具有在磁场中在轨道中移动的倾向,因此可以认为Quasiply可以在完美的不可棘散的流体中被视为涡流–正如凯尔文预测的那样,稳定的流体流动配置–这是这些Quasiparticly,预计会遵守TQFT的编织物理。

对这些系统持乐观持乐观态度的一个原因是它们具有惊人的财产:在它们上进行的电测量不依赖于实验的某些细节。特别是,它们的纵向阻力总是零,而他们的霍尔抵抗(图5)总是如此 独立的 样品的形状以及如何定位电触点。这种详细几何的这种独立性是强烈的暗示,即这些系统由TQFT描述。一些初步(虽然目前有争议的)实验证据表明,这些物质的问题确实是非琐碎的TQFTS已被罗伯特威利特和同事报告(arxiv:0911.0345.)。如果他们的工作令人信服地验证,那么它将提供证明在量子系统中实现了结理论的物理学。这将是从基本物理学的角度来看的惊人发展– but it would also open the door to applying the physics of knots to building a 拓扑量子计算机.

一目了然:拓扑量子计算

  • 结的第一个主要数学研究开始后19世纪的物理学家建议原子可以从涡旋中的打结股“luminiferous aether”
  • 结不变性可以帮助确定两节是否是“拓扑上等同”,意味着它们可以平滑地彼此变形,而不会切割任何股线
  • 在一些非常特殊的量子系统中,特定过程将发生的概率完全取决于系统’拓扑。在这种情况下,概率幅度等同于空间的结不变–在过程中由粒子追踪的时间路径
  • 可以通过彼此拖动颗粒来操纵这种系统的量子状态,以在空间中产生某些类型的打结图案–time
  • 以这种方式执行的计算将不太容易受到其他类型的量子计算机的噪声,因为计算结果仅取决于结的拓扑,而不是形成它的粒子的路径

更多关于:拓扑量子计算

N E Bonesteel 等等。 2005年彩色计算拓扑 物理。 rev. lett。 95 140503
M H Freedman,M J Larsen和Z Wang 2002是一种模块化仿函数,适用于量子计算 安排。数学。物理。 227 605
L H Kauffman 2001 结和物理学 第3埃德(纽约,世界科学)
ADONS的Kitaev 2003 2003容错量子计算 安。物理。,ny 303 2
Kitaev 2006在完全解决的模型中的Anyons 安。物理。,ny 321 2
C Nayak 等等。 2008 Non-Abelian anyons and 拓扑量子计算 rev. mod。物理。 80 1083

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