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量子力学

量子力学

揭示pi和Bohr之间的隐藏连接’s hydrogen model

17 Nov 2015
隐藏的趋势:将玻尔氢模型中的pi拼凑在一起

近400 据美国研究人员称,已有30年历史的pi公式出现在氢原子能态的量子力学公式中。由英国数学家约翰·沃利斯(John Wallis)于1655年推导的原始公式将pi计算为无穷多个比率的乘积–现在它已经从物理学家尼尔斯·玻尔(Niels Bohr)的解决方案中诞生了’是20年代初期氢原子模型,大多数萌芽的物理学家都学到了。

罗切斯特大学物理学家 卡尔·哈根 他正在为他的研究生量子力学课设计作业问题,当时氢原子的一项特殊锻炼引起了他的兴趣。它对氢的玻尔模型造成了扭曲,该模型使原子近似为绕圆点状正核运动的电子。玻尔模型虽然不能精确描述原子,但在许多情况下通常与真实模型足够接近。在讲授物理时尤其如此,因为它是Schr可以解析地解决的少数系统之一ödinger’s equation –也就是说,可以精确地解决它,而不用进行近似或使用计算机程序。

各种作业

但是,Hagen并未解决Bohr模型问题,而是采用了“变分原理” –通常用于近似量子力学系统的技术,而Schr无法通过解析来解决ö丁格方程式。该技术涉及对氢进行有根据的猜测’的波函数,然后优化该猜测。哈根发现原子’当轨道角动量增加时,预测原子的允许能量趋近并逐渐等于解析发现的氢能。实际上,哈根注意到,变分方法的误差对于氢的基态约为15%,对于第一激发态约为10%,并且随着激发态变大而保持减小。这是不寻常的,因为对于最低能量水平的近似,变分方法通常最有效。

隐藏式

哈根求助于他的同事,数学教授 塔玛·弗里德曼,谁发现他们可以派生瓦利斯’s是近似能量与精确能量之比的无穷乘积。弗里德曼(Friedmann)指出,在完全不同的动机下衍生出一个有着数百年历史的数学公式,潜伏在一个基本的量子力学问题中,这真是出乎意料。瓦利斯’的原始1655年无穷级公式,发表在他的书中 无限算术,早于牛顿’是微积分的发明,是他试图将正方形的面积与其中所刻圆联系起来的。

“Wallis couldn’t可能已经知道[趋势]会出现在氢原子中,因为那时没人知道氢原子,”弗里德曼说。她补充说,尽管自Bohr在1913年开发他的模型以来就可以找到该公式,但是这对夫妇是第一个发现该公式的人,这可能要归功于他们的跨学科经验。他们的发现表明,在其他看似经过充分研究的系统中,还有更多数学公式可能需要等待。

通用pi?

“I’我对pi在那里并不感到惊讶。到处都有Pi” says 德鲁·米尔索姆(Drew Milsom),亚利桑那大学的物理学家。 pi最明显的外观是圆的比例’密尔索姆(Milsom)在其直径的圆周上引用了概率研究中的另一个例子– known as “Buffon’s needle problem” – that finds that the probability of a falling matchstick landing between two lines is related to pi. What is more surprising, Milsom says, is that Hagen and Friedmann decided to use the 变分原理 and actually recognized the Wallis formula, which is obscure to most physicists.

pi公式从量子解决方案中出现,这最终不足为奇,因为正如Friedmann自己指出的那样,“数学公式一直在物理学中出现”。她补充说,找到链接“是数学与物理学之间终极联系的体现”,但两者之间是否存在更深层的,基本的相关性仍然未知。

“Once you see it, it’清晰而美丽,即使您不是’t able to derive it,”弗里德曼说,并补充说,现在甚至可以将其教给本科生。“物理问题会激发数学中的问题,反之亦然,” Friedmann says. “数学是描述物理学的语言。学习一个可以帮助另一个。”

该研究描述于 数学物理学报.

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